EJE: NÚMEROS

Conjuntos Numéricos y Operatoria

El eje de Números es la base de toda la matemática. Aquí se evalúa tu capacidad para operar con distintos tipos de números (enteros, decimales, fracciones, raíces) y aplicarlos para resolver problemas cotidianos.

1. Números Enteros (Z) y Racionales (Q)

Los Números Enteros (Z) incluyen a los naturales (1, 2, 3...), el cero y los negativos. Son fundamentales para entender situaciones como temperaturas bajo cero, deudas o profundidades. La regla de los signos es vital: "signos iguales dan positivo, signos distintos dan negativo" (solo en multiplicación y división).

Los Números Racionales (Q) son aquellos que pueden escribirse como fracción (a/b, donde b es distinto de cero). Esto incluye a las fracciones y a los decimales finitos y periódicos. Un desafío común en la PAES es ordenar fracciones (saber cuál es mayor) o transformar decimales a fracción para operar con mayor precisión.

Jerarquía de las Operaciones (PAPOMUDAS)

Al resolver ejercicios combinados, el orden NO es de izquierda a derecha, sino por jerarquía:

  1. PArentesis (desde el más interior).
  2. POtencias.
  3. MUltiplicación y División (estas tienen la misma jerarquía, se resuelven de izquierda a derecha).
  4. Adición y Sustracción (Suma y Resta).

2. Porcentajes y Variaciones Proporcionales

El porcentaje (%) es una forma de expresar una fracción con denominador 100. Es la herramienta matemática más usada en la vida real (ofertas, IVA, estadísticas).

Cálculo Rápido: El "x% de C" se calcula multiplicando (x/100) · C.
Ejemplo: El 20% de 500 es (20/100) · 500 = 0,2 · 500 = 100.

Variación Porcentual: Si un precio sube un 10%, ahora vale el 110% del original (se multiplica por 1,1). Si baja un 20%, vale el 80% (se multiplica por 0,8). Esto permite calcular aumentos y descuentos sucesivos de forma rápida.

3. Potencias y Raíces

Una potencia es una multiplicación abreviada. Debes dominar sus propiedades:

Las Raíces son potencias con exponente fraccionario. La raíz cuadrada de x es lo mismo que x elevado a 1/2. Es fundamental saber descomponer raíces inexactas (ej: √12 = √4·3 = 2√3).

⭐ Exclusivo M2: Logaritmos y Números Reales

Los Números Reales (R): Es la unión de los Racionales (Q) y los Irracionales (I). Los irracionales (como π, e, √2) tienen infinitos decimales NO periódicos y no pueden escribirse como fracción. Debes saber ubicarlos aproximadamente en la recta numérica.

Logaritmos: Son la operación inversa de la potencia. El logaritmo en base b de a es el exponente al que hay que elevar b para que dé a.
Definición: logb(a) = c ↔ bc = a.

Propiedades Clave:
  • Logaritmo del producto = Suma de logaritmos.
  • Logaritmo del cociente = Resta de logaritmos.
  • Logaritmo de una potencia = El exponente "baja" a multiplicar.
Error Frecuente: La trampa de los descuentos

"Si una tienda ofrece un descuento del 50% y luego un descuento adicional del 50% sobre el precio ya rebajado, ¿el producto es gratis?"

Análisis: ¡No! Si algo vale $100 y le descuentan 50%, queda en $50. Si a esos $50 le descuentan otro 50%, queda en $25. El descuento total real es del 75%, no del 100%. Los porcentajes sucesivos no se suman directamente.

📝 Mini-Ensayo: Practica lo aprendido

1. Si a un número positivo se le resta su cuadrado, y el resultado es cero, ¿cuál es el número? (M1)

A) 0
B) 1
C) -1
D) 2
Correcta: B. Planteamos la ecuación: x - x² = 0. Factorizamos: x(1 - x) = 0. Las soluciones son x=0 y x=1. Como piden un número positivo, la respuesta es 1.

2. ¿Cuál es el valor de log₂(8) + log₂(4)? (M2)

A) log₂(12)
B) 12
C) 5
D) 6
Correcta: C.
log₂(8) es 3 (porque 2³ = 8).
log₂(4) es 2 (porque 2² = 4).
3 + 2 = 5.
También se puede usar la propiedad: log₂(8·4) = log₂(32) = 5.

3. Si un cultivo de bacterias se duplica cada hora y comienza con 1 bacteria, ¿cuántas habrá al cabo de 5 horas?

A) 10
B) 25
C) 32
D) 64
Correcta: C. Es una potencia de base 2.
Inicio: 1 (2⁰)
1h: 2 (2¹)
2h: 4 (2²)
...
5h: 2⁵ = 32.