Análisis de Datos y Azar
En un mundo lleno de información, saber interpretar gráficos y calcular probabilidades es esencial. En este eje aprenderás a resumir datos, entender tendencias y calcular qué tan probable es que ocurra un evento.
1. Estadística Descriptiva: Resumiendo Información
El objetivo es tomar un gran conjunto de datos y resumirlo en números o gráficos que sean fáciles de entender.
Medidas de Tendencia Central
Buscan el "centro" o el valor más representativo de los datos.
- 📊 Media Aritmética (Promedio): Se suman todos los datos y se divide por el total. Es sensible a valores extremos (si un dato es muy alto, el promedio sube engañosamente).
- 📍 Mediana (Me): Es el dato que está justo al medio cuando se ordenan de menor a mayor. Si hay un número par de datos, se promedian los dos centrales.
- 🔝 Moda (Mo): Es el dato que más se repite (mayor frecuencia). Puede haber más de una (bimodal) o ninguna (amodal).
Medidas de Posición
Indican cómo se distribuyen los datos ordenados. Los más usados en la PAES son:
- Cuartiles (Q): Dividen los datos en 4 partes iguales (25% cada una). Q1 (25%), Q2 (50%, coincide con la Mediana), Q3 (75%).
- Percentiles (P): Dividen los datos en 100 partes iguales. P50 es la mediana. P90 significa que el 90% de los datos son menores o iguales a ese valor.
- Diagrama de Cajón (Boxplot): Gráfico que visualiza los cuartiles, el rango y los valores atípicos.
2. Probabilidades: Midiendo la Incertidumbre
La probabilidad mide qué tan posible es que ocurra un evento aleatorio. Se expresa como un número entre 0 (imposible) y 1 (seguro).
Regla de Laplace
Si todos los resultados son equiprobables (como en un dado honesto), la probabilidad de un evento A es:
P(A) = Casos Favorables / Casos Totales
Reglas de Operación
- Regla de la Suma ("O"): P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B). Se usa cuando queremos que ocurra al menos uno de los eventos. Si son excluyentes (no pueden pasar juntos), la intersección es cero.
- Regla de la Multiplicación ("Y"): P(A y B) = P(A) · P(B). Se usa cuando queremos que ocurran ambos eventos (ej: lanzar dos monedas y que ambas salgan cara).
⭐ Exclusivo M2: Estadística y Azar Avanzado
Medidas de Dispersión: Indican qué tan "alejados" están los datos del promedio.
• Rango: Dato mayor menos dato menor.
• Varianza (σ²): Promedio de las diferencias al cuadrado respecto a la media.
• Desviación Estándar (σ): Raíz cuadrada de la varianza. Mide cuánto se desvían los datos del promedio en las mismas unidades que la variable. Si es baja, los datos son homogéneos.
Probabilidad Condicional: Es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que YA ocurrió B. Se escribe P(A|B).
Fórmula: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
Técnicas de Conteo (Combinatoria):
• Permutación: Ordenar elementos. ¡Importa el orden! (n!).
• Combinación: Elegir grupos. ¡No importa el orden! (nCr).
• Variación: Elegir y ordenar subgrupos. ¡Importa el orden! (nPr).
"Si lanzo una moneda y sale cara 10 veces seguidas, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara en el lanzamiento 11?"
Respuesta: Sigue siendo 50% (1/2). La moneda no tiene memoria. Los eventos son independientes; el resultado anterior no afecta al nuevo lanzamiento. Creer lo contrario es la "Falacia del Jugador".
📝 Mini-Ensayo: Practica lo aprendido
1. Si el promedio de notas de 5 alumnos es 6,0. Si se agrega un sexto alumno con nota 7,0, ¿qué pasa con el nuevo promedio? (M1)
B) Disminuye.
C) Aumenta.
D) No se puede saber.
Cálculo: Suma original = 5 · 6 = 30. Nueva suma = 30 + 7 = 37. Nuevo promedio = 37 / 6 ≈ 6,16.
2. Se extrae una carta de un naipe inglés (52 cartas). ¿Cuál es la probabilidad de que sea un Rey (K) o un Corazón? (M1)
B) 17/52
C) 4/52
D) 13/52
4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52.
(Se resta 1 porque el Rey de Corazones se contó dos veces).
3. ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 delegados de un curso de 30 alumnos, si no hay jerarquía entre ellos? (M2)
B) 30³
C) Variación V(30, 3)
D) Combinación C(30, 3)