Expresiones Algebraicas y Funciones
El álgebra es el lenguaje universal para generalizar patrones y resolver problemas mediante variables. Las funciones, por su parte, nos permiten modelar fenómenos de la vida real donde una cantidad depende de otra. Este es el eje más extenso de la prueba PAES.
1. Fundamentos del Álgebra
Antes de resolver ecuaciones complejas, es vital dominar la manipulación de expresiones algebraicas. Esto incluye:
Operaciones Clave
- ✏️ Reducción de Términos Semejantes: Solo se pueden sumar o restar términos que tengan exactamente el mismo factor literal (las mismas letras con los mismos exponentes). Ej: 2x + 3x = 5x, pero 2x + 3y no se puede sumar.
- 📦 Productos Notables: Fórmulas para multiplicar rápido. Debes saber de memoria:
- Cuadrado de Binomio: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
- Suma por Diferencia: (a + b)(a - b) = a² - b²
- 🔑 Factorización: El proceso inverso. Es transformar una suma en una multiplicación. Fundamental para simplificar fracciones algebraicas.
2. Sistemas de Ecuaciones Lineales (2x2)
Un sistema de ecuaciones busca encontrar los valores de dos incógnitas (x, y) que satisfacen dos ecuaciones al mismo tiempo. Gráficamente, la solución es el punto donde se cruzan dos rectas.
Métodos de Resolución
- Reducción: Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable.
- Sustitución: Despejar una variable en una ecuación y reemplazarla en la otra.
- Igualación: Despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar los resultados.
• Si las rectas se cruzan en un punto → Solución Única.
• Si las rectas son paralelas (misma pendiente, distinto coeficiente de posición) → No tiene solución.
• Si las rectas son coincidentes (una encima de la otra) → Infinitas soluciones.
3. Funciones Lineal y Afín
Modelan situaciones donde el cambio es constante (proporcionalidad). Se representan como líneas rectas en el plano cartesiano.
Función Lineal: f(x) = mx
Pasa por el origen (0,0). Representa proporcionalidad directa.
Ejemplo: Si 1 kg de pan cuesta $1000, 2 kg cuestan $2000.
Función Afín: f(x) = mx + n
No pasa por el origen. Tiene un valor inicial fijo (n).
Ejemplo: Taxi con tarifa base ($500) más cobro por kilómetro.
Elementos Clave:
• Pendiente (m): Indica la inclinación. Si m > 0, la función es creciente. Si m < 0, es decreciente.
• Coeficiente de Posición (n): Es el punto donde la recta corta al eje Y (ordenada en el origen).
4. Función Cuadrática
Su gráfica es una curva llamada Parábola. Su forma general es f(x) = ax² + bx + c. Es vital para modelar trayectorias de proyectiles, áreas y ganancias.
Análisis de la Parábola
- Concavidad (a): Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba ("carita feliz", tiene un Mínimo). Si a < 0, se abre hacia abajo ("carita triste", tiene un Máximo).
- Intersección con eje Y (c): Corta al eje vertical en el punto (0, c).
- Intersección con eje X (Discriminante Δ): Depende de la ecuación ax² + bx + c = 0.
- Δ > 0: Dos soluciones reales distintas (corta en 2 puntos).
- Δ = 0: Una solución real (toca en 1 punto, el vértice).
- Δ < 0: No tiene soluciones reales (no corta al eje X).
- Vértice: Es el punto más alto o más bajo. Su coordenada x es -b/2a.
⭐ Exclusivo M2: Funciones Avanzadas
Función Inversa: Es la función que "deshace" lo que hizo la original. Si f(x) lleva de A a B, la inversa f⁻¹(x) lleva de B a A. Gráficamente, son simétricas respecto a la recta y = x. Solo las funciones biyectivas tienen inversa.
Función Potencia: f(x) = axⁿ. Su forma depende de si n es par (forma de U) o impar (forma de S alargada).
Función Exponencial: f(x) = aˣ (con a > 0 y a ≠ 1). Modela crecimientos rápidos (poblaciones de bacterias, interés compuesto). Si a > 1 es creciente; si 0 < a < 1 es decreciente.
Función Logarítmica: f(x) = logₐ(x). Es la inversa de la exponencial. Su dominio son solo los números positivos (x > 0). Crece muy lento.
"Una compañía de celulares cobra un cargo fijo de $5.000 mensuales más $50 por cada minuto hablado."
Análisis: Esto se modela con una Función Afín.
f(x) = 50x + 5000
Donde x son los minutos. El cargo fijo es el coeficiente de posición (n = 5000) y el costo por minuto es la pendiente (m = 50). Esta estructura permite predecir cuánto pagarás por cualquier cantidad de minutos.
📝 Mini-Ensayo: Practica lo aprendido
1. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, 7)? (M1)
B) 2
C) 4
D) 0,5
m = (7 - 3) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2.
2. Si el discriminante de una ecuación cuadrática es negativo (Δ < 0), ¿qué significa gráficamente para la parábola? (M1)
B) Que toca al eje X en un solo punto (vértice).
C) Que no corta al eje X en ningún punto.
D) Que pasa por el origen.
3. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = log₂(x - 3)? (M2)
B) x > 0
C) x > 3
D) x ≥ 3