Figuras, Cuerpos y Transformaciones
La geometría estudia las propiedades del espacio, las figuras planas y los cuerpos sólidos. En la PAES, no solo se trata de calcular áreas, sino de visualizar movimientos en el plano y comprender relaciones espaciales.
1. Geometría Plana: Perímetro y Área
Es la base de todo. Debes manejar con soltura el cálculo en figuras básicas. Recuerda: el Perímetro (P) es la longitud del contorno (unidades lineales: cm, m) y el Área (A) es la superficie interior (unidades cuadradas: cm², m²).
Fórmulas Esenciales
- 📐 Triángulo: P = suma de lados. A = (base · altura) / 2.
- ⬜ Cuadrado: P = 4a. A = a² (donde 'a' es el lado).
- rectángulo Rectángulo: P = 2(a+b). A = a · b (largo por ancho).
- ⚪ Círculo: P (circunferencia) = 2πr. A = πr². (Recuerda que π ≈ 3,14).
El Teorema de Pitágoras
Solo se aplica en triángulos rectángulos (los que tienen un ángulo de 90°). Relaciona los catetos (lados menores) con la hipotenusa (lado mayor, opuesto al ángulo recto).
Fórmula: a² + b² = c² (donde c es la hipotenusa).
Tríos Pitagóricos: Son grupos de números enteros que cumplen el teorema. Memorizarlos ahorra tiempo: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17).
2. Geometría del Espacio: Cuerpos 3D
Aquí agregamos una tercera dimensión: el volumen. El Área de Superficie es como "el papel de regalo" necesario para envolver el cuerpo. El Volumen es el espacio que ocupa o "cuánta agua le cabe".
Cuerpos Rectos (Prismas y Cilindros)
Tienen dos bases paralelas e iguales.
Volumen = Área Basal · Altura.
Si es un cilindro: V = πr² · h.
Cuerpos en Punta (Conos y Pirámides)
Tienen una sola base y terminan en un vértice.
Volumen = (Área Basal · Altura) / 3.
¡Ocupan un tercio del volumen de un prisma equivalente!
3. Transformaciones Isométricas
Son movimientos de figuras en el plano que NO alteran su forma ni su tamaño (por eso "iso" = igual, "métrica" = medida). Solo cambian su posición u orientación.
- Traslación: Deslizar una figura según un vector de traslación (x, y). Se suma el vector a cada punto de la figura.
- Rotación: Girar la figura en torno a un Centro de Rotación y en un cierto Ángulo. (Sentido antihorario es positivo).
- Reflexión (Simetría): Voltear la figura como en un espejo respecto a un Eje de Simetría (axial) o un Punto (central).
⭐ Exclusivo M2: Geometría Avanzada
Homotecia: Es una transformación que SÍ cambia el tamaño de la figura, pero mantiene su forma (figuras semejantes). Depende de un Centro de Homotecia y una Razón (k). Si k > 1, se agranda; si 0 < k < 1, se achica.
Semejanza y Thales: Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma (ángulos iguales) y lados proporcionales. El Teorema de Thales aplica esto a rectas paralelas cortadas por secantes.
Trigonometría: En triángulos rectángulos, relacionamos lados y ángulos.
• Seno (α) = Opuesto / Hipotenusa
• Coseno (α) = Adyacente / Hipotenusa
• Tangente (α) = Opuesto / Adyacente
Geometría Analítica: Ecuación de la recta (y = mx + n), distancia entre dos puntos, punto medio.
Un vector es una flecha que indica un desplazamiento. Tiene magnitud (largo), dirección (inclinación) y sentido (punta de la flecha). En el plano cartesiano se escribe como par ordenado (x, y).
Aplicación: Si trasladas el punto A(2, 3) según el vector v(-1, 4), el nuevo punto A' será (2-1, 3+4) = A'(1, 7).
📝 Mini-Ensayo: Practica lo aprendido
1. Si duplicamos el lado de un cuadrado, ¿qué sucede con su área? (M1)
B) Se triplica.
C) Se cuadruplica.
D) Se mantiene igual.
2. Al rotar el punto P(2, 5) en 90° antihorario respecto al origen (0,0), ¿cuáles son las nuevas coordenadas? (M1)
B) (-5, 2)
C) (-2, -5)
D) (2, -5)
3. En un triángulo rectángulo, si el seno de un ángulo agudo es 3/5, ¿cuál es el valor del coseno del mismo ángulo? (M2)
B) 5/3
C) 3/4
D) 5/4